Che cos’è un modello MATEMATICO

Un modello di un sistema esprime la conoscenza di un fenomeno e come tale consente di rispondere a domande sul sistema senza la necessità di compiere un esperimento. Esso costituisce quindi un potente mezzo di previsione e descrizione del comportamento di un sistema. In un’accezione larga, i modelli sono spesso usati nella vita quotidiana. Ad esempio, quando diciamo che una persona è di un certo tipo esprimiamo un modello del comportamento di una persona che è nella nostra mente e che consente di prevedere il comportamento di una persona in una certa situazione.Un altro esempio di modello è un modello verbale, nel quale il comportamento di un sistema in differenti condizioni è descritto a parole; ad esempio un modello verbale descrittivo del comportamento elettorale di un sistema democratico è: se il governo esprime una politica dannosa per i cittadini allora aumentano i voti per i partiti di opposizione. I Sistemi Esperti sono esempi di modelli verbali formalizzati. Vi sono anche i modelli fisici. Esempi sono i modelli in scala ridotta di un’opera architettonica, oppure i prototipi che sono realizzati per effettuare dei test di resistenza meccanica o aerodinamica.In queste lezioni noi volgeremo la nostra attenzione alla classe dei modelli matematici. In tal caso le relazione tra le varabili fisiche del sistema sono espresse da relazioni matematiche. Molte leggi della natura sono formulate come modelli matematici: esempi sono la legge di Newton, la legge di Ohm etc.Le leggi naturali descrivono in genere sistemi semplici ed in condizioni ideali. I sistemi reali con i quali si tratta nell’Ingegneria sono solitamente complessi e sono, come vedremo, il risultato dell’ interazione di più sistemi semplici.Tipicamente il modello matematico di un sistema consiste in un’equazione differenziale che stabilisce una relazione tra le variabili d’ingresso e le variabili d’uscita di un sistema. La descrizione di un sistema in termini di ingressi ed uscite è detta descrizione ingresso uscita. Il legame matematico consente di determinare le uscite a partire dagli ingressi e quindi di studiare la dinamica o il comportamento di un sistema in un certo ambiente. I sistemi a singolo ingresso e singola uscita sono detti sistemi SISO (single-input single-output). I sistemi a più ingressi e a più uscite sono detti MIMO (multi-input multi-output).La metodologia matematica consente di affrontare in modo astratto e unificato lo studio di sistemi di natura differente ma accomunati dalle stesse proprietà matematiche. Un esempio noto dallo studio della Fisica è quello dei sistemi meccanici ed elettrici. Tali sistemi sono descritti da equazioni differenziali dello stesso tipo e in questo caso si parla di sistemi analoghi.

Considerata una relazione matematica tra variabili, si può decidere arbitrariamente quale variabile sia l’ingresso (la causa) e quale sia l’uscita (l’effetto). Tale operazione si chiama orientazione.

Dal punto di vista operativo un sistema è orientato in modo che la conseguente relazione di causa ed effetto abbia un significato fisico-ingegneristico. Ad es. nel caso del sistema meccanico può aver senso assumere la forza come variabile d’ingresso e la posizione come variabile d’uscita.